Matemáticas para Exploradores: 2º Bachillerato CC Sociales: Matemáticas II

Tema 1: "Matrices"

En este tema se verán:
(Para teoría recomiendo visitar el blog del profesor Lucas:
Teoría y ejercicios sobre matrices)

1) ¿Qué es una matriz y para qué se usa?
Definición y aplicaciones como modo de almacenamiento de información para empresas en los ordenadores, que la denominan arrays.
Conceptos de: diagonal principal, diagonal secundaria y traza.

2) Tipos de matrices
Rectangular.
Cuadrada.
Matriz fila.
Matriz columna.
Triangular (superior e inferior).
Diagonal.
Unidad.

3) Operaciones con matrices
Suma.
Producto por un escalar.
Trasposición. Propiedades. Matrices simétrica y antisimétrica.
Producto de matrices. Propiedades (no siempre es conmutativo, ¡cuidado!).

4) Inversa de una matriz
Definición.
Concepto de dependencia lineal.
Operaciones lineales con filas.
Cálculo planteando un sistema a partir de la definición.
Cálculo por el método de Gauss-Jordan.

5) Rango de una matriz
Definición.
Concepto de dependencia e independencia lineal.
Ejercicios de discusión del rango en función de un parámetro.

6) Problemas
Básicos.
De operaciones más elaboradas.
De estrategia.

Aquí os dejo resueltos, algunos de los que mandé el viernes 23-septiembre-2016, a petición de Aroa y Fátima:

Respecto al cálculo de inversas por el método de Gauss-Jordan, os dejo un ejercicio extraordinario de Belén P. El cálculo en wolframalpha muestra que no se equivoca. Podéis utilizar también este programa para comprobar vuestros resultados. Os iré incluyendo capturas de pantalla para que aprendáis a usar la versión gratuita poco a poco:
http://www.wolframalpha.com

Más ejercicios de cálculo de matrices inversas, aplicando la definición, realizados por Sandra D.:

A·Ainversa=Ainversa·A=I=matriz identidad

Otro de Fátima B. donde debemos dejar todo en función del mínimo número de letras posible:

Ahora unos ejercicios de determinantes, y ecuaciones en las que aparecen determinantes, realizados por Belén P. en una organización extraordinaria:

Aquí tenéis un ejercicio de cálculo de rangos triangulando la matriz. Hecho por Fátima B.:

Y un ejercicio de sistemas con matrices, hecho por David G.:

Tema 2: "Determinantes"

En este tema se verán:
(Para teoría recomiendo visitar el blog del profesor Lucas:
Teoría y ejercicios sobre matrices)

1) ¿Qué es el determinante de una matriz y para qué se usa?
Regla de cálculo para:
Orden 2
Orden 3: Regla de Sarrus

2) Regla general de cálculo para cualquier orden
Conceptos previos:
a) Menor complementario de un elemento.
b) Adjunto de un elemento.
c) Matriz adjunta.
Definición general para el desarrollo por una fila o columna.

3) Propiedades de los determinantes
a) det(A·B)=det(A)·det(B)
b) Un determinante con una fila o columna de ceros vale cero.
c) Al cambiar de orden dos filas o columnas entre sí, el determinante cambia de signo.
d) Si se multiplica una fila o columna de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Recuerda que al hacer cambios con filas o columnas, no podrás multiplicar por nadie a la fila a cambiar.
e) Si a una fila o columna de un determinante se le añade una combinación lineal de otras, el determinante no varía.

Resolución de un determinante por el método de Chío. La fila a cambiar no se multiplica por nada, pues si no el determinante queda multiplicado por ese número.

4) Aplicaciones
Cálculo de inversas.

Propiedades de la matriz inversa:
a)

Determinación del rango de una matriz: Triangulando y por menores.
"El rango es el orden del mayor menor no nulo que pueda formarse con las filas y columnas de esa matriz"
Resolución de sistemas lineales.

Aquí os dejo resueltos por Fátima B.:

También podéis ver cómo se comprueba con wolframAlpha el resultado de la matriz adjunta. Además, con esta instrucción también se puede obtener el determinante y la traza:

Veamos ejemplo del desarrollo de un determinante por el método de Chío. Así conseguimos ceros en todos los elementos de una fila o columna, para poder desarrollar el determinante por ella, utilizando la regla general, sin tener que calcular tantos adjuntos:

Tema 3: "Sistemas lineales"

En este tema se verán:
(Para teoría recomiendo visitar el blog del profesor Lucas:
Teoría y ejercicios sobre matrices)

1) Clasificación de los sistemas
Saber cuándo un sistema es lineal, o no lineal.
Homogéneos, si los términos independientes son nulos.
Según la existencia o no de soluciones, y la cantidad de las mismas.
Matrices de coeficientes y de coeficientes ampliada.

2) Análisis de las soluciones
Teorema de Rouché-Fröbenius: "Un sistema es compatible, si y solo si, rg(A)=rg(A*)"
Análisis del rango por menores.
Interpretación geométrica de los sistemas de dos y tres incógnitas.

3) Métodos de resolución
Método de Gauss (triangulación de la matriz).
Método de la matriz inversa.
Regla de Cramer (si el sistema es de Cramer: det(A) no nulo, e igual número de ecuaciones que de incógnitas).

Os dejo unos ejercicios de discusión del tipo de soluciones según los valores del parámetro a. He elaborado también un vídeo explicativo que estoy ahora mismo subiendo a youtube. Cuando así sea, lo incluyo también:

Tema 4: "Programación lineal"

En este tema se verán:
(Para teoría recomiendo visitar el blog del profesor Lucas:
Teoría y ejercicios sobre matrices)

1) Región factible
Representación en el plano de inecuaciones con dos incógnitas.
Representación en el plano de sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
Obtención de los vértices de intersección por resolución del sistema de las ecuaciones que forman las rectas en la frontera.

2) Estudio de la función Z a optimizar
Determina la altura de los puntos de la región factible.

3) Búsqueda del máximo y el mínimo de Z
Estudiar los valores de Z en los vértices de la región factible.

4) Formulación de problemas
Organizar la información y dejar muy claro a quién llamamos x e y.

Para representar de forma rápida la región factible, os recomiendo dos programas:
wolframalpha.com
Aquí os dejo la captura de pantalla de un ejercicio:

Geogebra
Podéis ver un estupendo vídeo del profesor Antonio, donde se explica paso a paso la consecución detallada de la región factible y el máximo y el mínimo de una función z en estudio determinada.
¡Muchas gracias Antonio!:

Y ahora veamos algunos ejercicios de alumnos que han trabajado y entendido bien este tema. Como habréis podido ver, es mucho más fácil que el de las matrices:
Me gusta por ejemplo, como ha representado la región factible Belén P.:

Tema 5: "Límites, continuidad y asíntotas"

En este tema se verán:
(Para teoría recomiendo visitar el blog del profesor Lucas:
Teoría y ejercicios sobre matrices)

1) Límites
Concepto de límite de una función.
Formas de obtener infinito.
Formas de obtener cero.
Indeterminaciones: reglas generales para resolverlas.

2) Continuidad
Definición de función continua.
Aplicar la definición para estudiar la continuidad de funciones polinómicas, racionales, irracionales, valores absolutos, definidas a trozos, etc.

3) Dominio de una función
Concepto.
Reglas de cálculo para determinarlo en funciones polinómicas, racionales, irracionales y logarítmicas.

4) Asíntotas
Concepto.
Cálculo de asíntotas verticales: valores que no pertenecen al dominio. Posición relativa de la curva respecto a ellas con los límites laterales.
Cálculo de asíntotas horizontales: límites de la función cuando la x tiende a + o - infinito. Posición relativa de la curva respecto a ellas, con el límite cuando x tiende a + o - infinito de la función menos el valor de la asíntota. Este límite debe dar 0 (0+ por encima, y 0- por debajo).
Cálculo de asíntotas oblícuas: m y b con sus fórmulas y posición relativa de la curva respecto a ellas, con el límite cuando x tiende a + o - infinito de la función menos el valor de la asíntota. Este límite debe dar 0 (0+ por encima, y 0- por debajo).

Tema 6: "Derivadas y aplicaciones"

En este tema se verán:
(Para teoría recomiendo visitar el blog del profesor Lucas:
Teoría y ejercicios sobre matrices)

1) Derivadas
Concepto de derivada como la variación instantánea de una función en el punto donde se calcula.
Deducir derivadas de funciones polinómicas sencillas aplicando la definición.
Tabla de derivadas.
Regla de la cadena.
Estudio de la derivabilidad de una función.

2) Rectas tangentes
Cálculo de la ecuación de una recta tangente a una curva en un punto, utilizando la derivada en ese punto como pendiente de esta recta tangente.

3) Monotonía de una función
Concepto.
Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función utilizando la primera derivada.
Cálculo de los extremos relativos de una función utilizando su primera derivada y el criterio de la segunda derivada.

4) Curvatura de una funciónConcepto.
Determinación de los intervalos de concavidad y convexidad de una función utilizando la segunda derivada.
Cálculo de los puntos de inflexión de una función utilizando la tercera derivada.

Tema 7: "Integrales y aplicaciones"

En este tema se verán:
(Para teoría recomiendo visitar el blog del profesor Lucas:
Teoría y ejercicios sobre matrices)

1) Integrales
Integral de Riemann.
Concepto de primitiva de una función.
Integral indefinida.
Métodos básicos de integración: inmediatas (polinómicas, logarítmicas, exponenciales,...), racionales, por sustitución (casos básicos), y por partes (casos muy sencillos).

2) Aplicaciones al cálculo de áreas
Concepto de integral definida. Propiedades.
Regla de Barrow.
Cálculo de áreas de recintos sencillos:
a) Entre una función y el eje OX: mirar dónde se anula la función.
b) Entre dos funciones con límites dados.
c) De la región comprendida entre dos funciones: sacar los puntos de corte, y ver cuál va por encima.
d) Con funciones a trozos.

Os dejo unos ejercicios de Fátima B.: