1º Bachillerato (Ciencias)

Tema 1: "Los Números Reales"

En este tema se verán:

1) Los distintos conjuntos de números de forma anidada: 
Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales.
Debes conocerlos, aprender a clasificarlos y a representarlos.

2) Propiedades de las potencias. 
Ya las has visto desde 1º ESO. Será un repaso muy rápido.

3) Radicales. 
Deduciremos todas sus propiedades a partir de una única que reduce el trabajo con los mismos a un tratamiento con potencias. Deberás saber multiplicar y dividir radicales, sacar o meter factores dentro de una raíz, racionalizar y sumar o restar radicales cuando sea posible.

4) Intervalos: 
Abiertos, cerrados y semicerrados (o semiabiertos).

5) Valores absolutos. 
Deberás saber expresar una condición impuesta con valores absolutos a través de una unión de intervalos.

Si quieres una guía de estudio, descárgate este fichero:
Los Números Reales

Puedes encontrar ejercicios en los siguientes links de otros autores:

Ejercicios de Números Reales

Tema 2: "Álgebra"

En este tema se verán:

1) Polinomios 
Definición y operaciones de suma, multiplicación y división general. También se recordará la división entre polinomios de la forma x-a con el método de Ruffini.

2) Factorización de polinomios  
Introducción a la misma a través de los teoremas del resto y del factor. Sus demostraciones son muy sencillas.
El proceso conlleva:
Sacar factor común.
Buscar identidades notables.
Buscar polinomios divisores de la forma x-a.

3) Fracciones algebraicas
Definición y trabajo con ellas: simplificación, y operaciones de suma, multiplicación y división.

4) Ecuaciones
De primer grado.
De segundo grado (truco para encontrar de modo inmediato las raíces).
De otros grados.
Algebráicas.
Irracionales.
Exponenciales.
Logarítmicas (primero el concepto de logaritmo).

5) Sistemas de ecuaciones
Repaso de los tres métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción.
Resolución con el método de Gauss.
Introducción a los sistemas no lineales.
 
6) Inecuaciones
Con y sin denominadores.
De grados 2 y 3.

Si quieres una guía de estudio, descárgate estos ficheros:

Polinomios y fracciones algebráicas
Ecuaciones de primer y segundo grado
Ecuaciones irracionales
Logaritmos

Ejercicios de la profesora Susana Parra

Al resolver problemas y ecuaciones debéis tener en cuenta que los problemas reales de Ciencia o Ingeniería no son tan exactos como los que suelen ponerse para enseñar estos métodos a los alumnos. Mathics nos ofrece una solución a estos casos y al mismo tiempo enseña por qué no es posible encontrarla manualmente de forma inmediata:

En el primer caso se obtiene un polinomio de grado 3, cuya factorización no es ni mucho menos inmediata. Tiene una raíz real ("realmente complicada") y dos complejas. Esta ecuación es muy común en Ciencias. Matemáticamente nos invitan a una reflexión:
Aunque en algunos casos tengan dos raíces complejas, las ecuaciones de grado 3 siempre tienen una real. Pensemos que al tender a infinito (dando a la x valores muy grandes pero positivos) el polinomio se va a infinito igualmente, mientras que al ir a menos infinito (con valores muy grandes y negativos) se va a menos infinito. Siendo así, a la fuerza tiene que cortar al eje x en algún punto, que  es la solución real. Pero ello no implica que esta solución sea inmediata de conseguir. En Mathics se puede ver la representación gráfica de la ecuación de grado 3 que se logra operando.
Para factorizar estos casos hay que utilizar métodos aproximados de cálculo numérico. Ya veremos algunos más adelante.

Hay otros casos que sí tienen una solución real fácil de obtener, aunque a simple vista no se nos ocurra. Siempre resulta más fácil encontrarla cuando el coeficiente de la x es 1.

Tema 3: "Trigonometría"

En este tema se verán:

1) Introducción 
Criterio de signos para los ángulos y unidades de medida para los ángulos: Grados sexagesimales y radianes.

2) Definición de las razones trigonométricas
Seno, coseno, tangente y 1 partido por cada una de ellas.
Relaciones fundamentales.
Ubicación en la circunferencia goniométrica y signo de las razones.

3) Razones de ángulos específicos
Deducción de las razones de 45º, 30º y 60º, a partir de medio cuadrado y un triángulo equilátero.
Razones de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos.
Razones del ángulo suma, diferencia, doble y mitad.

4) Teoremas del seno y del coseno
Resolución de triángulos.

5) Representación gráfica de las razones 

2) Ecuaciones trigonométricas y aplicaciones

Puedes descargarte la documentación aquí:
Trigonometría

Problema básico de Trigonometría:
"Dos montañeros que han ascendido en fines de semana sucesivos a dos picos, querrían saber qué distancia hay entre las cimas de ambos. Para ello, desde dos puntos C y D han medido los ángulos alpha1=85º y alpha2=30º. Después se han dirigido a la base de la otra montaña, C, y han medido los ángulos beta1=40º y beta2=93º. ¿Cuál es la distancia d entre las cimas?
Os dejo la resolución en jpg:

En estos problemas debéis diseñar primero una táctica adecuada para no hacer cálculos innecesarios que os puedan retrasar en un examen. En mi hoja como veis, lo primero que indico son los pasos a dar. He subido también los de Cristina T., Cristina G., Cristina M. (¡vivan las Cristinas!) y Laura B, cuya táctica es la misma. Esta última ha obtenido un resultado algo diferente por uso no tan preciso de la calculadora. Cuidado con eso por tanto.
Han entregado este problema con resultados positivos: Laura B., Inés S., Cristina T., Lucía M., Daniel R., Sheyla P. (¡Cuidado!, supones que ciertos ángulos son rectos y no es así), Isabel P., Rubén C. (No están bien calculados algunos ángulos con la aplicación de que la suma sea 180º, aunque la táctica sí es correcta), Cristina G., Ismael R., Cristina M. y Jaime M. (teorema del seno aplicado con un ángulo incorrecto en el triángulo ACD).
Si alguien sigue dudando, subiré el vídeo de como se hace (lo tenía, pero se me ha gastado la batería de la cámara al grabarlo y no me he dado cuenta).

También conviene que veáis este vídeo sobre la resolución de un caso de planteamiento en 3 dimensiones, a partir de un sistema de referencia que el observador sigue en paralelo:

En breve subiré alguna ecuación trigonométrica:

Si queréis practicar para el examen, cualquiera de los ejercicios del profesor Ortega Castro o Susana Parra, os pueden ayudar. Intentaremos resolverlos en clase esta próxima semana:

Otro ejercicio interesante:
Demostrar la identidad trigonométrica propuesta en este vídeo. El truco reside en hacerlo de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, según convenga, pues uno de los dos caminos suele ser más sencillo:

Otro ejercicio es esta raíz cúbica de complejos:

También una identidad trigonométrica a demostrar. No son tan difíciles como parecen a simple vista. Pensad que casi todas se resuelven utilizando las relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas que hemos visto en clase:

Y una ecuación trigonométrica fácil. Muchas veces no es necesario hacer grandes cambios. En este caso, sacando factor común todo sale:

Ahora el siguiente problema. Cuidado con la interpretación del enunciado: "Sea AB una altura de pie accesible, situada en terreno horizontal. Desde el punto E, situado a 23,41 m de la base A, con un aparato situado en C a 1 m de altura del suelo, se dirige una visual a B, resultando un ángulo de 4º 12' con la horizontal. ¿Cuánto mide la altura AB?."

Aquí está el ejemplo de demostración de identidad donde hay que transformar la suma en un producto. Es cierto que son ejercicios un poco largos, pero no por ello difíciles, si os habéis trabajado el tema:

Otra ecuación donde ayuda transformar la suma en producto:

Una identidad trigonométrica sencilla a demostrar es la de la siguiente foto. Tened en cuenta que en ella una vez hay que sustituir la tangente por una expresión y en otro sitio por otra, utilizando relaciones fundamentales:

Una identidad trigonométrica más que podéis atreveros a demostrar:

Dos identidades trigonométricas muy sencillas de demostrar:

Otra ecuación, logarítmica con complejos y en la que las bases de los logaritmos, sugieren hacer un cambio a base 2:

 

Tema 4: "Números Complejos"

En este tema se verán:

1) Introducción 
Repaso de los conjuntos de números ya vistos y ejemplos de los mismos.

2) Números complejos 
Conceptos importantes: opuesto y conjugado.
Representación en el plano.
Forma binómica.
Forma polar.
Forma trigonométrica.
Forma exponencial (relación de Euler).

3) Operaciones con números complejos
Suma y resta.
Producto.
Cociente.
Potencia n-ésima.
Raíz n-ésima.
En binómica (todas menos la raíz).
En polar (todas).

4) Ecuaciones
Teorema fundamental del Álgebra.
Resolución de ecuaciones de grado n determinando todas sus soluciones.
Resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales con complejos.

5) Aplicaciones

Impedancias asociadas a los elementos fundamentales de un circuito: resistencia, bobina y condensador.

Cálculo de impedancias equivalentes de conexiones en serie y en paralelo.

Paso del dominio temporal al dominio fasorial para convertir el trabajo con funciones trigonométricas en trabajo con exponenciales.

Resolución de circuitos sencillos en serie y en paralelo en el dominio fasorial.

Otro de complejos:

"Determinar a y b para que el complejo que aparece sea real y de módulo unidad"

Os recuerdo que también entran las inecuaciones y los sistemas con las mismas:

Tema 5: "Geometría en el plano"

En este tema se verán:

1) Operaciones básicas con vectores.
Coordenadas.
Suma y su interpretación geométrica.
Resta y su interpretación geométrica.
Producto por un escalar.
Dependencia e independencia lineal.

2) Ecuaciones de la recta.
Vectorial (conocer procedencia).
Paramétricas.
Continua (cuidado con las imitaciones que no lo son).
General o implícita.
Explícita.
Punto-pendiente.

3) Posición relativa de rectas.
Determinarla resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones (método de Gauss).
Secantes (sistema compatible determinado).
Paralelas (sistema incompatible).
Coincidentes (sistema compatible indeterminado).

4) Vectores específicos.
Director de una recta.
Perpendicular a una recta.
Trucos.

5) Producto escalar de vectores.
Definición.
Propiedades.
Relación con la ortogonalidad de vectores.
Definición analítica.
Aplicaciones: módulo de un vector, ángulo entre vectores.
Proyección de un vector sobre otro.

6) Distancias.
Entre puntos.
Entre punto y recta.
Entre rectas.

7) Determinación de rectas específicas.
Medianas.
Mediatrices.
Bisectrices.
Recta de Euler.
Problemas.

8) Bases del plano
Condición que deben cumplir sus vectores y por qué.
Bases ortogonales.
Base ortonormal o canónica.
Coordenadas de un vector en la base canónica.
Coordenadas de un vector en otra base cualquiera.



Un ejercicio de Geometría:

"Determinar las ecuaciones de las rectas que forman 45º con la recta r: 3x-4y+5=0 y pasan por el punto (2, -3)"

Os dejo la primera parte:

Lo siguiente es calcular las ecuaciones de las rectas (en forma paramétrica, continua, implícita,...) de forma que pasen por P(2, -3) y los dos vectores directores que se obtienen al resolver este sistema. Espero vuestras respuestas por e-mail.
La segunda parte está muy bien resuelta por Lucía M.:

Sheyla P. me ha mandado este otro resuelto:
"Calcula la distancia entre las rectas r y s: "

Problema:

"Determinar la apotema de un hexágono de vértices: A=(0,0), B=(2, 0), C=(3; 1,73); D=(2; 3,46), E=(0; 3,46) y F=(1; 1,73):"

Tema 6: "Cónicas"

En este tema se verán:

1) Introducción a las cónicas
Explicación de cómo se obtienen a través de una presentación.
(Resultado de la intersección de un cono con un plano).

2) Circunferencia
Definición.
Parámetros básicos (centro y radio).
Ecuación.
Problemas relacionados (con rectas y otras cónicas).

3) Elipse
Definición.
Parámetros básicos (distancia focal, centro y semiejes).
Ecuación.
Concepto de excentricidad y comparación con la circunferencia.
Problemas relacionados (con rectas y otras cónicas).

A continuación, podéis mover los deslizadores para conseguir distintas elipses y practicar tratando de deducir su ecuación mirando únicamente la cónica:

4) Hipérbola

Definición.

Parámetros básicos (distancia focal, centro y vértices).

Ecuación.

Concepto de excentricidad.

Problemas relacionados (con rectas y otras cónicas).

Mueve los deslizadores para modificar los parámetros de la hipérbola, y trata de deducir su ecuación mirando solo la figura:

4) Parábola

Definición.

Parámetros básicos (vértice y eje).

Ecuación.

Problemas relacionados (con rectas y otras cónicas).

4) Presencia en la naturaleza

Leyes de Kepler-Brahe.

Tiro parabólico.

Resolución de problemas relacionados.

Si cambias los valores de a,b y c, podrás ver como evoluciona la gráfica de la parábola y=ax^2+bx+c: Os dejo un ejercicio de bisectrices a petición de Pamela, que también se ha dado cuenta que en una de las rectas falta igualar a cero:

He aquí una deducción muy buena de la ecuación reducida de la hipérobola, realizada por Sheyla, a partir de los focos y la constante K:

Utilizando las relaciones entre los parámetros de la hipérbola, también se puede deducir lo mismo, pero más deprisa:

Tema 7: "Análisis"

En este tema se verán:
(Para teoría recomiendo visitar el blog:
http://alfonso-matematicas3.blogspot.com.es/2013/10/1-bachillerato-ciencia-y-tecnologia.html)

1) 10 puntos para determinar las características de una función:
Dominio, recorrido, simetrías, cortes con los ejes, continuidad, asíntotas, monotonía (máximos y mínimos), curvatura, periodicidad y acotación.

2) Transformaciones de funciones
Composición.
Valor absoluto.
Traslaciones (horizontales y verticales).
Funciones definidas a trozos.

3) Estudio de la función exponencial.
Representación a partir de una tabla de valores.
Análisis de los 10 puntos.
Traslaciones horizontales y verticales. Trucos para determinar la expresión analítica.

Mueve los deslizadores y traslada horizontal y verticalmente la función exponencial de base 2. Intenta determinar la expresión analítica sin mirar su fórmula en la columna de la izquierdaMueve los deslizadores y averigua qué función exponencial has creado y cuánto está trasladada horizontal, verticalmente o ambas cosas a la vez: 
4) Estudio de la función logarítmica.
Representación a partir de una tabla de valores.
Análisis de los 10 puntos.
Traslaciones horizontales y verticales. Trucos para determinar la expresión analítica.

Practica con este applet de Geogebra, donde al mover el deslizador, cambiarás la base del logaritmo:

Si además, incluimos la posibilidad de desplazarlo horizontal o verticalmente, tenemos este otro applet:

Finalmente, el logaritmo con mezclas de desplazamientos y el mismo sin desplazar, para comparar en todo momento. No intentes este caso, hasta que no te queden bien claros los anteriores:


Realiza la misma identificación para una parábola:

Y para los desplazamientos horizontales y verticales de la hipérbola equilátera: Para el cálculo de rectas y puntos notables de cualquier triángulo, podéis acceder a la página:
http://geogebra.geometriadinamica.org/ventana_rectas_notables.html
Es estupenda y os da toda la información para cualquier caso. Aunque recordad que vosotros debéis demostrar lo que obtenéis con ayuda del Álgebra y la Geometría.

Duda de Sheyla e Isabel:
Para resolver por Gauss un sistema que tenga "valores complicados", la forma más precisa es, obrar como en el siguiente ejemplo: